Question

已知函数f（x）=x³-3x²+bx+c在x=1处的切线是y=（3a-3）x-3a+4．
（1）试用a表示b和c；
（2）求函数f（x）≥-

3

2

在[1，3]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数f（x）的导数f′（x），求出f′（1），根据条件求出f（1），列出方程，得到b=3a，c=3-3a；
（2）求参数a的取值范围，实际上就是求参数的最值问题．

解答： 解：（1）∵为f'（x）=3x²-6x+b，
∴f'（1）=-3+b=3a-3，f（1）=b+c-2=1，
即有b=3a，c=-3a+3．
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，
x3-3x2+3ax-3a+3≥-

3

2

，
3ax-3a≥-x3+3x2-

9

2

，
3a(x-1)≥-x3+3x2-

9

2

，
当x=1时，成立，a∈R，
当x≠1时，3a≥

-x3+3x2- 9 2

x-1

，
令t=x-1，3a≥

-t3+3t- 5 2

t

=-t2+3-

5 2

t

令g(t)=-t2+3-

5 2

t

，（0＜t≤2），
∴以g′(t)=-2t+

5 2

t2

=

-2t3+ 5 2

t2

，g′(t)＞0⇒t＜(

5

4

)

1

3

，g′(t)＜0⇒t＞(

5

4

)

1

3

，
g(t)max=g((

5

4

)

1

3

)=3-3(

5

4

)

2

3

，3a≥3-3(

5

4

)

2

3

，
故a≥1-(

5

4

)

2

3

点评：本题主要考查导数在函数中的综合运用，利用切线求参数的值，利用导数求参数的取值范围，也就求最值问题，是一道综合题．