Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对任意的n∈N^*，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-2；
（2）已知数列{b_n}是以2为首项，公比为3的等比数列，其第n项恰好是数列{a_n}的第r项，求

lim

n→∞

r

3n

的值．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得

an+2

2

=

2Sn

，可判数列{a_n}为首项为2，公差为4的等差数列，可得通项公式；（2）由题意2×3^n-1=4r-2，解得r=

3n-1+1

2

，代入求极限可得．

解答： 解：（1）由题意得

an+2

2

=

2Sn

，a_n＞0，
平方可得S_n=

1

8

（a_n+2）²，
当n=1时，a₁=

1

8

（a₁+2）²，解得a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

8

（a_n+2）²-

1

8

（a_n-1+2）²，
变形整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
由题意知a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=4
∴数列{a_n}为首项为2，公差为4的等差数列，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2
（2）由题意2×3^n-1=4r-2，解得r=

3n-1+1

2

，
∴

lim

n→∞

r

3n

=

lim

n→∞

3n-1+1

2×3n

=

lim

n→∞

(

1

6

-

1

2×3n

)=

1

6

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及极限的运算，属中档题．