Question

1．如图，正三棱锥A-BCD的侧棱长为2，底面BCD的边长为2$\sqrt{2}$，E，分别为BC，BD的中点，则三棱锥A-BEF的外接球的半径R=1，内切球半径r=2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理求出三棱锥A-BEF的外接球的半径，利用等体积求出内切球半径．

解答 解：设三棱锥A-BEF的外接球的球心为O，则O在平面BEF上的射影O′为△BEF的中心，
∴BO′=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∵A到平面BCD的距离为$\sqrt{4-（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴三棱锥A-BEF的外接球的半径R=$\sqrt{\frac{6}{9}+\frac{3}{9}}$=1，
三棱锥A-BEF的体积V=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•2•\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
又S=$\frac{\sqrt{3}}{4}•2$+2×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}•2$=2+$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$（2+$\sqrt{3}$）r，
∴r=2-$\sqrt{3}$．
故答案为：1，2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三棱锥A-BEF的外接球的半径、内切球半径，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．