Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，BA⊥侧面PAD，侧棱PA=PD=

2

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2．
（1）求PC与平面ABCD所成的角；
（2）求三棱锥A-PCD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得PO⊥AD，从而PO⊥平面ABCD，∠PCO是PC与平面ABCD所成的角，由此能求出PC与平面ABCD所成的角为45°．
（2）由V_A-PCD=V_P-ACD，利用等积法能求出三棱锥A-PCD的体积

解答： 解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，∴PO⊥AD
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD
∵PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，
∴∠PCO是PC与平面ABCD所成的角，
连接BO，CO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，∴四边形OBCD是平行四边形，
∴OB∥DC．
∵AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，
∴OC=1，OB=

2

，
在Rt△POA中，∵AP=

2

，AO=1，∴OP=1，
∴∠PCO=45°，
∴PC与平面ABCD所成的角为45°．
（2）∵PO⊥平面ACD，PO=1，
S_△ACD=

1

2

×AB×AD=

1

2

×1×2=1，
∴三棱锥A-PCD的体积V_A-PCD=V_P-ACD=

1

3

×S△ACD×PO=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题考查线线垂直、线面垂直、线面角等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和探究能力．