题目内容
点P为椭圆
+
=1（a＞0，b＞0）在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴，y轴的平行线，分别交直线y=-
x于Q、R，交y轴、x轴于M、N两点，记△OMQ与△ONR的面积分别为S1，S2，当ab=2时，S12+S22的最小值为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b |
| a |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设设P点的坐标为（n，m），（n＞0，m＞0），由题意分别表示出Q、R，M、N的坐标，再求出S1，S2的面积，再根据点P再椭圆上，利用基本不等式求得mn≤1，
再利用基本不等式求出S12+S22≥2S1•S2≥
，问题得以解决
再利用基本不等式求出S12+S22≥2S1•S2≥
| 1 |
| 2 |
解答：
解：设P点的坐标为（n，m），（n＞0，m＞0）
∵过P引x轴，y轴的平行线，分别交直线y=-
x于Q、R，交y轴、x轴于M、N两点，
∴点Q的坐标为（-
，m），点R的坐标为（n，-
），点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），
∴|NR|=
，|ON|=n，|MQ|=
，|OM|=m，
∴S1=S△OMQ=
×m×
=
，S2=S△ONR=
×n×
=
，
∴S1•S2=
，
∵P点在椭圆
+
=1上，
∴
+
=1，
∴1=
+
≥2•
=mn，
即mn≤1，
∴S12+S22≥2S1•S2=
≥
，
故S12+S22的最小值为
故答案为：
解：设P点的坐标为（n，m），（n＞0，m＞0）∵过P引x轴，y轴的平行线，分别交直线y=-
| b |
| a |
∴点Q的坐标为（-
| am |
| b |
| bn |
| a |
∴|NR|=
| bn |
| a |
| am |
| b |
∴S1=S△OMQ=
| 1 |
| 2 |
| am |
| b |
| am2 |
| 2b |
| 1 |
| 2 |
| bn |
| a |
| bn2 |
| 2a |
∴S1•S2=
| m2n2 |
| 4 |
∵P点在椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴
| n2 |
| a2 |
| m2 |
| b2 |
∴1=
| n2 |
| a2 |
| m2 |
| b2 |
| nm |
| ab |
即mn≤1，
∴S12+S22≥2S1•S2=
| m2n2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故S12+S22的最小值为
| 1 |
| 2 |
故答案为：
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了椭圆的有关知识，以及基本不等式的应用，培养了学生的转化能力，运算能力，属于中档题．
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如图，在四棱锥P-ABCD中，BA⊥侧面PAD，侧棱PA=PD=过原点的椭圆的一个焦点为F（1，0），其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是（ ）
A、（x-
| ||||
B、（x+
| ||||
C、x2+（y-
| ||||
D、x2+（y+
|