Question

如图，多面体EFABCD中，底面ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DF∥AF，AB=DE=2，AF=1．
（Ⅰ）证明：BE⊥AC；
（Ⅱ）点N在棱BE上，当BN的长度为多少时，直线CN与平面ADE成30°角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得DE⊥平面ABCD，DA、DE、DC两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥AC．
（Ⅱ）设

BN

=λ

BE

，0≤λ≤1，则

CN

=

CB

+

BN

=

CB

+λ

BE

=（-2λ+2，-2λ，2λ），

CD

为平面ADE的法向量，由此利用向量法能求出BN的长．

解答： （Ⅰ）证明：∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，
∴DE⊥平面ABCD，
又∵ABCD是正方形，∴DA、DE、DC两两互相垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），

AC

=（-2，2，0），

BE

=（-2，-2，2），
∴

AC

•

BE

=4-4+0=0，∴BE⊥AC．
（Ⅱ）解：

CB

=（2，0，0），

BE

=（-2，-2，2），

CD

=（0，-2，0），
∵点N在棱BE上，∴设

BN

=λ

BE

，0≤λ≤1，
∴

CN

=

CB

+

BN

=

CB

+λ

BE

=（-2λ+2，-2λ，2λ），
∵CD⊥平面ADE，∴

CD

为平面ADE的法向量，
当直线CN与平面ADE成30°角时，＜

CN

，

CD

＞=60°，
∴cos＜

CN

，

CD

＞=

λ

3λ2+2λ+1

=cos60°=

1

2

，
解得λ=-1±

2

，
∵0≤λ≤1，∴λ=

2

-1，
∴BN的长为|

BN

|=λ|

BE

|=(

2

-1)•2

3

=2

6

-2

3

．

点评：本题考查线线垂直、线面垂直、线面角、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和探究能力．