Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）当直线l与圆C相交时，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）求出直线经过的定点，然后利用点到圆心的距离与圆的半径比较，即可判断直线l与圆C的位置关系；
（2）当直线l与圆C相交时，当直线l过定点P且与PC垂直时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出斜率即可求解直线方程．

解答： 解：（1）∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，∴

2x+y-7=0 x+7-4=0

，
解得

x=3 y=1

，
∴直线l过定点P（3，1），且P与圆心C（1，2）的距离|PC|=

5

＜5，
∴直线l一定过圆内定点P，∴直线l与圆C一定相交．…（5分）
（2）由平面几何知识可知，当直线l过定点P且与PC垂直时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
而k_PC=-

1

2

，∴此时直线l的方程为y-1=2（x-3）．
故弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0．
最短弦长为d=2

25-5

=4

5

．…（10分）
说明：各题如有其它解法可参照给分．

点评：本题考查直线系方程与圆的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力．