题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，PO=| 3 |
| π |
| 3 |
（1）求二面角B-AP-M的平面角的余弦值；
（2）在侧棱PD上确定一点N，使ON∥平面APM．
考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）连结AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．求出平面ABP的一个法向量和平面AMP的一个法向量，由此能求出二面角B-AP-M的余弦值．
（2）D（0，-2，0），
=(0，-2，-
)．设
=λ
，由ON∥平面APM，得
•
=0，由此能求出当
=
时，有ON∥平面APM．
（2）D（0，-2，0），
| PD |
| 3 |
| PN |
| PD |
| ON |
| n2 |
| PN |
| 3 |
| 8 |
| PD |
解答：
解：（1）连结AC，BD，
以O为坐标原点，OA，OB，OP方向分别为x，y，z轴正方向，
建立空间直角坐标系Oxyz．
因为四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=
，
则A（2
，0，0），B（0，2，0），C（-2
，0，0），P（0，0，
）．
=（-2
，2，0），
=（-2
，0，
），
=（0，-2，
）．…（2分）
设平面ABP的一个法向量为
=（x1，y1，z1），
则
，
取x1=1，得平面ABP的一个法向量为
=（1，
，2）．…（4分）
又BM=1，
=
=（
，
，0），
=
+
=（
，-
，h），
=
+
=(
，-
，
)． …（6分）
设平面AMP的一个法向量为
=(x，y，z)，
则
，
取z=2，得平面AMP的一个法向量为
=（1，
，2）．…（8分）
二面角B-AP-M的平面角为α，
则cosα=
=
=
．…（10分）
（2）D（0，-2，0），
=(0，-2，-
)．
设
=λ
=（0，-2λ，-
λ），…（12分）
则
=
+
=（0，-2λ，
-
λ），
∵ON∥平面APM，∴
•
=-
+2
(1-λ)=0，解得λ=
，
所以当
=
时，有ON∥平面APM．…（14分）
以O为坐标原点，OA，OB，OP方向分别为x，y，z轴正方向，
建立空间直角坐标系Oxyz．
因为四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=
| π |
| 3 |
则A（2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| AB |
| 3 |
| AP |
| 3 |
| 3 |
| BP |
| 3 |
设平面ABP的一个法向量为
| n1 |
则
|
取x1=1，得平面ABP的一个法向量为
| n1 |
| 3 |
又BM=1，
| MB |
| 1 |
| 4 |
| CB |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| MP |
| MB |
| BP |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| MP |
| MB |
| BP |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
设平面AMP的一个法向量为
| n2 |
则
|
取z=2，得平面AMP的一个法向量为
| n2 |
5
| ||
| 3 |
二面角B-AP-M的平面角为α，
则cosα=
| ||||
|
|
| 1+5+4 | ||||||
|
| ||
| 4 |
（2）D（0，-2，0），
| PD |
| 3 |
设
| PN |
| PD |
| 3 |
则
| ON |
| OP |
| PN |
| 3 |
| 3 |
∵ON∥平面APM，∴
| ON |
| n2 |
10
| ||
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 8 |
所以当
| PN |
| 3 |
| 8 |
| PD |
点评：本题考查满足条件的点的坐标的确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．
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