Question

已知矩阵A=

a -1 b 0

的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量

a

=

1 1

．
（Ⅰ）试求矩阵A^-1；
（Ⅱ）求曲线2x-y+1=0经过A^-1所对应的变换作用下得到的曲线方程．

Answer 1

考点：特征值、特征向量的应用

专题：矩阵和变换

分析：（Ⅰ）直接代入计算；
（Ⅱ）先写出变换，整理即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵A=

a -1 b 0

的与特征值λ=2对应的一个特征向量为量

a

=

1 1

，
∴

a -1 b 0

1 1

=2

1 1

，
解得

a=3 b=2

，所以A=

3 -1 2 0

．
∵detA=

.

3 -1 2 0

.

=2，
∴A-1=

0 1 2 -1 3 2

．
（Ⅱ）矩阵A^-1对应的变换为

x′= 1 2 x y′=-x+ 3 2 y

，
整理，得

y=2x′ x=3x′-y′

  …（*）
将（*）代入2x-y+1=0，得2（3x′-y′）-2x′+1=0，
化简，得4x′-2y′+1=0．
故所求的曲线方程为：4x-2y+1=0．

点评：本题考查矩阵的计算及变换．