题目内容
如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，底面△ABC是正三角形，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若平面AMN⊥平面PBC，则平面AMN与平面ABC成二面角（锐角）的余弦值等于（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
考点：二面角的平面角及求法
专题：空间角
分析：由已知得PA=PB=PC，且△ABC为正三角形，过顶点P作MN的垂线，垂足为E，延长PE交BC于F，连接AF，过点P作底面ABC的垂线，垂足为O，设PA=PB=PC=a，由已知得∠PEA是二面角PMN-AMN的平面角，AB=BC=AC=
a，CF=
，PF=
a，OF=
AF=
，由此能求出侧面与底面所成的二面角的余弦值．
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| a |
| 3 |
解答：
解：如图，∵三棱锥P-ABC为正三棱锥，
∴PA=PB=PC，且△ABC为正三角形，
过顶点P作MN的垂线，垂足为E，延长PE交BC于F，连接AF，过点P作底面ABC的垂线，垂足为O，
设PA=PB=PC=a，∵M、N为PB、PC中点，
∴MN∥BC，∵PE⊥MN，∴PF⊥BC，
又PB=PC，∴E、F分别为MN、BC中点，
∵AM=AN，∴AE⊥MN，
∴∠PEA是二面角PMN-AMN的平面角，
∴∠AEP=90°，∵E为PF中点，∴AE为PF中垂线，
∴AF=PA=a，∴AB=BC=AC=
a，
∴CF=
=
，
在Rt△PFC中，由勾股定理得到PF=
a，
由题意得O为底面△ABC的重心，∴OF=
AF=
，
∴侧面与底面所成的二面角的余弦值为：
cos∠PFO=
=
=
．
故选：C．
∴PA=PB=PC，且△ABC为正三角形，
过顶点P作MN的垂线，垂足为E，延长PE交BC于F，连接AF，过点P作底面ABC的垂线，垂足为O，
设PA=PB=PC=a，∵M、N为PB、PC中点，
∴MN∥BC，∵PE⊥MN，∴PF⊥BC，
又PB=PC，∴E、F分别为MN、BC中点，
∵AM=AN，∴AE⊥MN，
∴∠PEA是二面角PMN-AMN的平面角，
∴∠AEP=90°，∵E为PF中点，∴AE为PF中垂线，
∴AF=PA=a，∴AB=BC=AC=
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| 3 |
∴CF=
| BC |
| 2 |
| ||
| 3 |
在Rt△PFC中，由勾股定理得到PF=
| ||
| 3 |
由题意得O为底面△ABC的重心，∴OF=
| 1 |
| 3 |
| a |
| 3 |
∴侧面与底面所成的二面角的余弦值为：
cos∠PFO=
| FO |
| PF |
| ||||
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| ||
| 6 |
故选：C．
点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、线面角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．
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