题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其中F1，F2为左、右焦点，O为坐标原点．直线l与椭圆交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点．当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
π
4
时，原点O到直线l的距离为
2
2
．又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为
3
-1．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为
6
时，求平行四边形OQNP的对角线之积|ON|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）若抛物线C2：y2=2px（p＞0）以F2为焦点，在抛物线C2上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（I）直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
π
4
时，可得直线l的方程为：y=x-c．由原点O到直线l的距离为
2
2
，可得
c
2
=
2
2
，解得c．又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为
3
-1，可得a-c=
3
-1，解得a，b2=a2-c2．即可得出椭圆C的方程．
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，由
x
2
1
3
+
y
2
1
2
=1，|2x1•2y1|=
6
，可得|ON|•|PQ|=2
6
．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-6=0，由△＞0，解得3k2+2＞m2．利用根与系数的关系可得|PQ|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
，原点到直线l的距离d=
|m|
1+k2
，利用S△POQ=
1
2
d|PQ|=
6
2
，化为3k2+2=2m2，满足△＞0．设M（x0，y0）为PQ的中点，可得|OM|2=
x
2
0
+
y
2
0
=
1
2
(3-
1
m2
)，|PQ|2=2(2+
1
m2
)，可得|OM|2|PQ|2=(3-
1
m2
)(2+
1
m2
)，利用基本不等式的性质即可得出．
（III）由题意可得抛物线C2：y2=4x，由以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，可得∠ORS=90°．可得
OR
•
SR
=0．设S（x3，y3），R（x4，y4），可得y4（y4-y3）=-16．利用基本不等式的性质可得y3≥8，或y3≤-8，x3≥16．即可得出．
解答： 解：（I）直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
π
4
时，
∴直线l的方程为：y=x-c．
∵原点O到直线l的距离为
2
2
，
∴
c
2
=
2
2
，解得c=1．
又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为
3
-1，
∴a-c=
3
-1，解得a=
3
，
∴b2=a2-c2=2．
∴椭圆C的方程为
x2
3
+
y2
2
=1．
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．
①当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，
由
x
2
1
3
+
y
2
1
2
=1，|2x1•2y1|=
6
，解得|x1|=
6
2
，|y1|=1．
∴|ON|•|PQ|=2
6
．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
联立
y=kx+m
x2
3
+
y2
2
=1
，化为（2+3k2）x2+6kmx+3m2-6=0，
由△＞0，解得3k2+2＞m2．
∴x1+x2=-
6km
2+3k2
，x1x2=
3m2-6
2+3k2
，
∴|PQ|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2
6
1+k2
3k2+2-m2
2+3k2
，
原点到直线l的距离d=
|m|
1+k2
，
∴S△POQ=
1
2
d|PQ|=
6
3k2+2-m2
|m|
2+3k2
=
6
2
，
化为3k2+2=2m2，满足△＞0．
设M（x0，y0）为PQ的中点，则x0=
x1+x2
2
=-
3k
2m
，y0=kx0+m=
1
m
．
∴|OM|2=
x
2
0
+
y
2
0
=
9k2
4m2
+
1
m2
=
1
2
(3-
1
m2
)，|PQ|2=2(2+
1
m2
)，
∴|OM|2|PQ|2=(3-
1
m2
)(2+
1
m2
)≤
25
4
，当且仅当m=±
2
时取等号．
∴|OM||PQ|的最大值为
5
2
．
∴|ON|•|PQ|=2|OM||PQ|的最大值为5．
综上可得：ON|•|PQ|的最大值为5．
（III）由题意可得抛物线C2：y2=4x，
∵以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，∴∠ORS=90°．∴
OR
•
SR
=0．
设S（x3，y3），R（x4，y4），
则
OR
•
SR
=x4（x4-x3）+y4（y4-y3）=
y
2
4
(
y
2
4
-
y
2
3
)
16
+y4（y4-y3）=0．
∵y4（y4-y3）≠0，∴y4（y4-y3）=-16．
∴y3=
16
y4
+y4≥8，或y3≤-8
x3≥
y
2
3
4
=16．
∴该圆面积最小时点S的坐标为（16，±8）．
点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
（
1+i
1-i
）6+
2
+
3
i
3
-
2
i
=
 
．
某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=
-6(n≤2)
3n-3(n≥3)

（Ⅰ）求某一天中有两台机器发生故障的概率；
（Ⅱ）求这个车间一天内可能获取利润的均值（．精确到0.01）．
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA1⊥平面ABC；
（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，PO=
3
，AB=4，∠BAD=
π
3
，M为棱BC上一点，且BM=1．
（1）求二面角B-AP-M的平面角的余弦值；
（2）在侧棱PD上确定一点N，使ON∥平面APM．
设点P在曲线y=x2上，点Q在直线y=2x-2上，则PQ的最小值为（　　）
A、
5
5
B、
2
5
5
C、
3
5
5
D、
4
5
5
已知
a
•
b
=0，向量
c
满足（
c
-
a
）•（
c
-
b
）=0，|
a
-
b
|=5，|
a
-
c
|=3，则
a
•
c
的最大值为
 
．
为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），由此得到频率分布直方图如图，则这些学生的平均分为
 
．
向量
a
，
b
，满足|
a
|=4，|
b
|=2，且（
a
-
b
）•
b
=0，则
a
与
b
的夹角（　　）
A、
5
6
π
B、
2
3
π
C、
π
2
D、
π
3

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网