Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：空间角

分析：以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BED的一个法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能求出平面ABE与平面BED的夹角的余弦值．

解答： 解：以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（0，3，0），
P（0，0，3），D（3，3，0），E（0，2，1），
∴

BE

=（0，2，1），

BD

=（3，3，0），
设平面BED的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • BE =2y+z=0 n • BD =3x+3y=0

，
取z=1，得

n

=（

1

2

，-

1

2

，1），
平面ABE的法向量为

m

=（1，0，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1 2

6 2 ×1

=

6

6

．
∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为

6

6

．
故答案为：

6

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．