Question

（本题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求证：函数在上单调递增；
（2）若函数有三个零点，求的值；
（3）若存在，使得，试求的取值范围。

Answer 1

（1）证明：，由于所以故函数在上单调递增（2）（3）

试题分析：（1）
由于，故当时，，所以，
故函数在上单调递增-----------------------------------4分
（2）当时，因为，且在R上单调递增，
故有唯一解
所以的变化情况如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	递减	极小值	递增

又函数有三个零点，所以方程有三个根，
而，所以，解得 -----------8分
（3）因为存在，使得，
所以当时，
由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，
所以当时，，
而，
记，因为（当时取等号），
所以在上单调递增，而，
所以当时，；当时，，
也就是当时，；当时，
①当时，由，
②当时，由，
综上知，所求的取值范围为------------------12分
点评：将函数零点问题不等式恒成立问题转化为求函数最值