Question

（本小题14分）设函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；
（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.

Answer 1

（1）当时，的递增区间是；当时，在上单调递增；在上单调递减
（2）（3）存在，证明见解析

试题分析：
（Ⅰ），                   ……2分
①当时，恒成立，故的递增区间是；         ……3分
②当时，令，则.
当时，；当时，.
故在上单调递增；在上单调递减； ……6分
（Ⅱ）由上述讨论，当时，为函数的唯一极大值点，
所以的最大值为=.                  ……8分
由题意有，解得.
所以的取值范围为.                                     ……10分
（Ⅲ）当时，.    记，其中.
∵当时，，∴在上为增函数，
即在上为增函数.                                    ……12分
又，所以，对任意的，总有.
所以，
又因为，所以.
故在区间上不存在使得成立的（）个正数….                                ……14分
点评：对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.