Question

(本小题满分16分)
已知函数，，.
（1）当时，若函数在区间上是单调增函数，试求的取值范围；
（2）当时，直接写出（不需给出演算步骤）函数 （）的单调增区间；
（3）如果存在实数，使函数，（）在
 处取得最小值，试求实数的最大值.

Answer 1

（1）（2）时，增区间，时，减区间 （3）

试题分析：（1）函数在区间上是单调增函数
（2）当时，在上是增函数；
当时，在上是增函数.
（3），
根据题意，在区间上恒成立，
即成立
整理得：，
即  ①
当时，不等式①恒成立；
当时，不等式①可化为   ②
令，
根据题设条件，的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点取得，又，所以不等式②恒成立的条件是
即，变量分离得：，③
由条件，存在实数使得③有解，所以，
即，整理得，解得：
又，所以，即实数的最大值是.
点评：本题第三问难度较大，对于学生没有明显的区分度