Question

(14分) 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，判断方程实根个数.
（3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）在内有且仅有一个实数根
（3）

试题分析：（1）利用导数的几何意义得到导数的值，切点坐标得到结论。
（2）时，令，
求解导数，并判定又，
在内有且仅有一个零点进而得到结论。
（3）恒成立， 即恒成立，
又，则当时，恒成立，
分离参数法构造新函数利用求解的最小值得到参数m的范围。
（1）时，，，切点坐标为，
切线方程为
（2）时，令，
，在上为增函数
又，
在内有且仅有一个零点
在内有且仅有一个实数根
（或说明也可以）
（3）恒成立， 即恒成立，
又，则当时，恒成立，
令，只需小于的最小值，
，
， ， 当时，
在上单调递减，在的最小值为，
则的取值范围是
点评：解决该试题的关键是能将不等式的恒成立问题转化为哈双女户的最值来处理，并得到参数的范围，同时要理解导数的几何意义表示的为切线的斜率。