Question

（本题满分14分）
已知函数f（x）=lnx+
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设mR，对任意的a∈（-l，1），总存在x_o∈[1，e]，使得不等式ma － (x_o)<0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明：ln² l+ 1n²2,+…+ln² n>∈N*）．

Answer 1

（Ⅰ）函数的单调递减区间是.
（Ⅱ）的取值范围是.
（Ⅲ）见解析。

试题分析：（Ⅰ）.
令，得，因此函数的单调递增区间是.
令，得，因此函数的单调递减区间是.…………（4分）
（Ⅱ）依题意，.
由（Ⅰ）知，在上是增函数，
.
，即对于任意的恒成立.
解得.
所以，的取值范围是.   …………………………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ），
，.
.
即.
又，


.
.
由柯西不等式，.
..     ……………………（14分）
点评：较难题，利用导数求函数单调区间的方法，解题时注意函数的定义域，避免出错