Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、H分别是棱A₁B₁、C₁D₁上的点（点E 与B₁不重合），且EH∥A₁D₁；过EH的平面与棱BB₁、CC₁相交，交点分别为F、G．
（1）证明：AD∥平面EFGH；
（2）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，记该点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH 内的概率为P，当A₁E=EB₁，B₁B=4B₁F时，求P的值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,几何概型

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面平行的判定定理，只需要证明AD∥EH即可，问题得以解决．
（2）求出对应区域的体积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：（1）证明：：∵EH∥A₁D₁，A₁D₁∥EH，
∴AD∥EH，
∵EH?平面EFGH；AD?平面EFGH；
∴AD∥平面EFGH；
（2）∵EH∥A₁D₁，过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G．
∴FG∥EH，
即几何体B₁FE-C₁GH是三棱柱，
设长方体的三条棱长AB=a，AD=b，AA₁=c，
∵A₁E=EB₁，B₁B=4B₁F，
∴B₁E=

1

2

a，B₁F=

1

4

c，
则三棱柱B₁FE-C₁GH的体积V=

1

2

×

1

2

a×

1

4

c×b=

1

16

abc，
长方体的体积V=abc，
则几何体A₁ABFE-D₁DCGH的体积V₁=abc-

1

16

abc=

15

16

abc，
则根据几何概型的概率公式可得在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，则该点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率P=

15 16 abc

abc

=

15

16

．

点评：本题主要考查几何概型的概率计算以及空间几何体的体积计算，根据条件求出对应的几何体的体积是解决本题的关键．