Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为

3

，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出A，B两点的纵坐标分别是y=

b

a

 和y=-

b

a

，由△AOB的面积为

3

，求出b=

3

a，c=2a，由此能求出双曲线的离心率．

解答： 解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y=±

b

a

x，
又∵抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=4x的准线分别交于A，B两点，
∴A，B两点的纵坐标分别是y=

b

a

 和y=-

b

a

，
∵△AOB的面积为

3

，∴

1

2

×1×

2b

a

=

3

，
∴b=

3

a，c=

a2+b2

=2a，
∴e=

c

a

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．