Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x²+y²-2mx-4y+m²-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．

解答： 解：圆的标准方程为（x-m）²+（y-2）²=32，
则圆心C（m，2），半径r=4

2

，
S_△ABC=

1

2

r²sin∠ACB≤16sin∠ACB，
∴当∠ACB=90时S取最大值16，
此时△ABC为等腰直角三角形，AB=

2

r=8，
则C到AB距离=

4 2

2

=4，
∴4≤PC＜4

2

，
即4≤

(m-3)2+22

＜4

2

，
∴16≤（m-3）²+4＜32，
即12≤（m-3）²＜28，
∴

(m-3)2＜28 (m-3)2≥12

，
解得3-2

7

＜m≤3-2

3

或3+2

3

≤m＜3+2

7

，
故答案为：（3-2

7

，3-2

3

]∪[3+2

3

，3+2

7

）

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．