Question

1．已知函数f（x）=lnx+x与函数$g（x）=\frac{b}{x}+{x^2}$有交点，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，0]
• C． [0，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的定义域，结合函数有交点，转化为方程有根，利用参数分离法，结合导数研究函数的取值范围进行求解即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
若函数f（x）=lnx+x与函数$g（x）=\frac{b}{x}+{x^2}$有交点，
则等价为$g（x）=\frac{b}{x}+{x^2}$=lnx+x，则（0，+∞）上有解，
即b=-x³+x²+xlnx，
设h（x）=-x³+x²+xlnx=x（-x²+x+lnx），
则m（x）=-x²+x+lnx，
则m′（x）=-2x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$，
由m′（x）=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$＞0得0＜x＜1，
由m′（x）=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$＜0得x＞1，
即当x=1时，函数m（x）取得极大值，同时也是最大值，m（1）=-1+1+ln1=0，
即当x＞0时，m（x）=-x²+x+lnx≤0，
则当x＞0时，h（x）=-x³+x²+xlnx=x（-x²+x+lnx）≤0，
若b=-x³+x²+xlnx有交点，
则b≤0，
故选：B．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用方程和函数之间的关系，利用参数分离法，结合导数研究函数的性质是解决本题的关键．