Question

9．已知函数f（x）满足f（-x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠-1恰有4个不同的根，则k的取值范围是（$-\frac{1}{3}$，0）．

Answer 1

分析 根据条件求出函数f（x）的周期性和在一个周期内的解析式，利用函数与方程的关系，转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（0）=0，
∵f（-x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），
∴函数y=f（x）为偶函数，
令x=-2，则f（-2+2）=f（-2）+f（2）=f（0）=0，
即2f（2）=0，则f（2）=0，
即f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期数列，
若x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]时，
此时f（-x）=-x=f（x），
∴f（x）=-x，x∈[-1，0]，
令y=kx+k+1，则化为y=k（x+1）+1，即直线y=k（x+1）+1恒过M（-1，1）．
作出f（x），x∈[-1，3]的图象与直线y=k（x+1）+1，
如图所示，由图象可知当直线介于直线MA与MB之间时，
关于x的方程f（x）=kx+k+1恰有4个不同的根，
又∵k_MA=0，k_MB=$-\frac{1}{3}$，
∴$-\frac{1}{3}$＜k＜0．
故答案为：（$-\frac{1}{3}$，0）．

点评 本题主要考查根的个数的应用，根据条件判断函数的奇偶性和周期性，利用数形结合转换为两个函数的图象问题是解决本题的关键．