Question

6．α、β均为锐角，sin²α+sinβcosβ=1，则$\sqrt{1+sin2β}$+$\sqrt{1-cos2α}$的最大值为$\sqrt{3+\sqrt{10}}$．

Answer 1

分析 由条件可得cos2α≤0，$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$，sin2β-cos2α=1．令t=$\sqrt{1+sin2β}$+$\sqrt{1-cos2α}$，利用二次函数的性质求得t²的最大值，可得t的最大值．

解答 解：α、β均为锐角，sin²α+sinβcosβ=1，即$\frac{1}{2}$sin2β=cos²α=$\frac{1+cos2α}{2}$，即 sin2β=1+cos2α≤1．
∴cos2α≤0，∴$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$．
令t=$\sqrt{1+sin2β}$+$\sqrt{1-cos2α}$，由 sin2β-cos2α=1，
可得 t²=1+sin2β+1-cos2α+2$\sqrt{1-cos2α+sin2β-sin2βcos2α}$=3+2$\sqrt{2-2sinβcos2α}$=3+2$\sqrt{2-2（1+cos2α）•cos2α}$
故当cos2α=-$\frac{1}{2}$时，即α=$\frac{π}{3}$时，t²取得最大值为3+2$\sqrt{\frac{5}{2}}$=3+$\sqrt{10}$，
故t的最大值为$\sqrt{3+\sqrt{10}}$，
故答案为：$\sqrt{3+\sqrt{10}}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质，属于中档题．