Question

10．已知函数f（x）=e^x
（Ⅰ）证明：当x≠0时，（1-x）f（x）＜1；
（Ⅱ）证明：当a≠b时，$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜$\frac{f（a）+f（b）}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先构造函数g（x）=（1-x）f（x），根据导数和函数最值的关系即可证明；
（Ⅱ）不防设a＜b，记g（x）=[f（x）+f（a）]（x-a）-2[f（x）-f（a）]，分别两次求导，求出函数的最值，即可证明．

解答 证明：（Ⅰ）设g（x）=（1-x）f（x）=（1-x）e^x，
∴g′（x）=-xe^x，
当g′（x）＞0时，即x＜0，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，即x＞0，函数g（x）单调递减，
∴g（x）max≥g（0）=1，
∴当x≠0时，（1-x）f（x）＜1；
（Ⅱ）不防设a＜b
记g（x）=[f（x）+f（a）]（x-a）-2[f（x）-f（a）]，x≥a
∴g'（x）=f'（x）（x-a）+[f（x）+f（a）]-2f'（x），
=f'（x）（x-a）-[f（x）-f（a）]，
∴g″（x）=f″（x）（x-a）+f'（x）-f'（x）=f（x）（x-a）＞0，
∴g'（x）在x＞a上单调增加，
则g'（x）＞g'（a）=0，
∴g（x）在x＞a上单调增加，
又g（x）可在x=a处连续，
∴g（x）＞g（a）=0，
即[f（x）+f（a）]（x-a）-2[f（x）-f（a）]＞0，
特别的取x=b，[f（b）+f（a）]（b-a）-2[f（b）-f（a）]＞0，
整理得$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜$\frac{f（a）+f（b）}{2}$，
问题得以证明．

点评 本题考查了导数和函数的最值得关系，以及转化思想，构造函数是关键，属于中档题．