Question

13．已知正实数x、y满足y＞2x，则$\frac{{{y^2}-2xy+{x^2}}}{{xy-2{x^2}}}$最小值为4．

Answer 1

分析 分子分母同除以x²并换元可得t的式子t+$\frac{1}{t}$+2，由基本不等式可得．

解答 解：∵正实数x、y满足y＞2x，∴$\frac{y}{x}$＞2，
∴t=$\frac{y}{x}$-2＞0，∴$\frac{y}{x}$=t+2，
∴$\frac{{{y^2}-2xy+{x^2}}}{{xy-2{x^2}}}$=$\frac{（\frac{y}{x}）^{2}-2\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}-2}$
=$\frac{（t+2）^{2}-2（t+2）+1}{t}$=$\frac{{t}^{2}+2t+1}{t}$
=t+$\frac{1}{t}$+2≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+2=4，
当且仅当t=$\frac{1}{t}$即t=1即y=3x时取等号．
故答案为：4．

点评 本题考查基本不等式求最值，换元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．