Question

11．已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，且g（x）=f（x）+6，f（-2）=4，当a，b∈[-2，2]，a+b≠0时，恒有（a+b）[f（a）+f（b）]＜0成立．
（Ⅰ）求g（2）的值；
（Ⅱ）判断f（x）在[-2，2]上的单调性（不用证明）；
（Ⅲ）若g（x）≤m²-2km+2对所有的k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的关系即可求g（2）的值；
（Ⅱ）根据抽象函数的关系即可判断f（x）在[-2，2]上的单调性（不用证明）；
（Ⅲ）根据函数恒成立，转化为以k为主变量的函数，进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（-2）=4，∴f（=-2）=-f（2）=4，即f（2）=-4，
则g（2）=f（2）+6=-4+6=2．
（Ⅱ）f（x）在[-2，2]上的单调性（不用证明）；
∵当a，b∈[-2，2]，a+b≠0时，恒有（a+b）[f（a）+f（b）]＜0成立，
∴此时函数f（x）为减函数．
（Ⅲ）若g（x）≤m²-2km+2对所有的k∈[-1，1]恒成立，
则f（x）+6≤m²-2km+2对所有的k∈[-1，1]恒成立，
即f（x）≤m²-2km-4对所有的k∈[-1，1]恒成立，
∵函数f（x）在[-2，2]上为减函数，
∴函数f（x）的最大值为f（-2）=4，
即4≤m²-2km-4对所有的k∈[-1，1]恒成立，
即m²-2km-8≥0对所有的k∈[-1，1]恒成立
即-2mk+m²-8≥0对所有的k∈[-1，1]恒成立，
设h（k）=-2mk+m²-8，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）≥0}\\{h（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+2m-8≥0}\\{{m}^{2}-2m-8≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥2或m≤-4}\\{m≥4或m≤-2}\end{array}\right.$，
即m≥4或m≤-4．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，以及函数恒成立问题，利用参数转化法是解决本题的关键．