Question

15．在如图所示的多面体中，面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形．
（1）求证：AE∥平面BFC
（2）若AD⊥DE，AD=DE=1，AB=2，∠BDA=60°，求三棱锥F-AEC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AD∥BC，从而AD∥平面BCF，推导出DE∥BF，从而DE∥平面BCF，进而平面ADE∥平面BCF，由此能证明AE∥平面BCF．
（2）设AC∩BD=O，则O为AC中点，连结OE，OF，则V_F-ABC=V_C-AEF=2V_O-AEF=2V_A-OEF，由此能求出三棱锥F-AEC的体积．

解答 证明：（1）∵面ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∵AD?平面BCF，BC?平面BCF，
∴AD∥平面BCF，
∵四边形BDEF是矩形，∴DE∥BF，
∵DE?平面BCF，BF?平面BCF，
∴DE∥平面BCF，
∵AD∩DE=D，AD?平面ADE，DE?平面ADE，
∴平面ADE∥平面BCF，
∵AE?平面ADE，∴AE∥平面BCF．
解：（2）设AC∩BD=O，则O为AC中点，连结OE，OF，
则V_F-ABC=V_C-AEF=2V_O-AEF=2V_A-OEF，
在△ABD中，∠BAD=60°，AD=1，AB=2，
由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠BAD，
∴BD=$\sqrt{3}$，
∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD，
∵DE⊥AD，BD∩DE=D，BD?平面BDEF，DE?平面BDEF，
∴AD⊥平面BDEF，
故AD为A到平面BDEF的距离，
∵DE=1，∴S_△OEF=$\frac{1}{2}{S}_{四边形BDEF}$=$\frac{1}{2}×OD×EE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_A-OEF=$\frac{1}{3}{S}_{△OEF}•AD$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴三棱锥F-AEC的体积V_F-AEC=2V_A-OEF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．