Question

已知椭圆C：

x2

4

+y²=1，
（1）若直线l过点Q（1，1），交椭圆C于A、B两点，求直线l的方程使得Q为AB的中点；
（2）定点M（0，2），P为椭圆C上任意一点，求线段PM的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,直线的点斜式方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点差法求直线的方程；
（2）设出椭圆上任意一点的参数坐标，由两点间的距离公式写出|PA|，利用配方法求其最大值．

解答： 解：（1）设A（（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则：

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1，
两式相减得：

(x1-x2)(x1+x2)

4

+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
因为Q（1，1）为AB的中点，
所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
所以

y1-y2

x1-x2

=-

1

4

，
故l的方程为：x+4y-5=0…7分
（2）因为椭圆C：

x2

4

+y²=1，
设P点坐标是（2cost，sint）
则|PA|=

(2cost)2+(sint-2)2

=

-3(sint- 2 3 )2+ 28 3

，
∴当sint=

2

3

时，|PA|_max=

28 3

=

2 21

3

，
故答案为：

2 21

3

…14分．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆的参数方程，训练了函数最值的求法，是中档题．