题目内容
已知正三棱锥的高比底面边长小4，且其外接球的表面积为196π，则该正三棱锥的体积为 ．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：由已知得该三棱锥外接球的半径为7，H是正△ABC的中心，AH=
a×
=
a，则球心到底面中心的距离为|a-4-7|，由勾股定理得a=12，由此能求出该正三棱锥的体积．
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解答：
解：如图，设球半径为r，正三棱锥的底面边长为a，则高SH=a-4，
∵正三棱锥的外接球的表面积为196π，
∴4πr2=196π，解得r=7，即该三棱锥外接球的半径为7，
∵H是正△ABC的中心，∴AH=
a×
=
a，
则球心到底面中心的距离为|a-4-7|，
在Rt△OHA中，由勾股定理得，72=（a-4-7）2+（
a）2，
解得a=12，或a=
，（舍）
∴a=12，SH=8，
∴该正三棱锥的体积为：
V=
×
×a2×sin60°×SH=
×
×a2×SH=96
．
故答案为：96
．
∵正三棱锥的外接球的表面积为196π，
∴4πr2=196π，解得r=7，即该三棱锥外接球的半径为7，
∵H是正△ABC的中心，∴AH=
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则球心到底面中心的距离为|a-4-7|，
在Rt△OHA中，由勾股定理得，72=（a-4-7）2+（
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解得a=12，或a=
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∴a=12，SH=8，
∴该正三棱锥的体积为：
V=
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故答案为：96
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点评：本题考查三棱锥的体积的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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| A、[1，+∞） |
| B、（-∞，1] |
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圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为（ ）
| A、10 cm | ||||
B、
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C、5
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D、5
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