Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB上一点
（Ⅰ） 当点E在AB上移动时，三棱锥D-D₁CE的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积；
（Ⅱ） 当点E在AB上移动时，是否始终有D₁E⊥A₁D，证明你的结论；
（Ⅲ）若E是AB的中点，求二面角D₁-EC-D的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）当点E在AB上移动时，三棱锥D-D₁CE的体积不变，由VD-D1CE=VD1-DCE，能求出这个三棱锥的体积．（Ⅱ）当点E在AB上移动时，始终有D₁E⊥A₁D．连结AD₁，由已知得A1D⊥AD1 ，A₁D⊥AB，从而A₁D⊥平面AD₁E，由此能证明D₁E⊥A₁D．
（Ⅲ）由已知得DE⊥EC，D₁D⊥EC，从而CE⊥平面D₁DE，∠D₁ED是二面角D₁-EC-D的平面角，由此能求出二面角D₁-EC-D的正切值．

解答： （本题满分12分）
解：（Ⅰ）当点E在AB上移动时，三棱锥D-D₁CE的体积不变，
S△DCE=

1

2

DC×AD=

1

2

×2×1=1，DD₁=1，
∴VD-D1CE=VD1-DCE=

1

3

S△DCE×DD1=

1

3

×1×1=

1

3

．（4分）
（Ⅱ）当点E在AB上移动时，始终有D₁E⊥A₁D，
证明：连结AD₁，四边形ADD₁A₁是正方形，∴A1D⊥AD1 ，
∵AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，∴A₁D⊥AB，
∵AB∩AD₁=A，AB?平面AD₁E，AD₁?平面AD₁E，
∴A₁D⊥平面AD₁E，
∵D₁E?平面AD₁E，∴D₁E⊥A₁D．（8分）
（Ⅲ）∵E为AB中点，∴DE=EC=

2

，
而CD=2，∴DE²+EC²=DC²，
∴DE⊥EC，∵DD₁⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，∴D₁D⊥EC，
∵DD₁∩DE=D，DD₁?平面D₁DE，DE?平面D₁DE，
∴CE⊥平面D₁DE，
∵D₁E?平面D₁DE，∴CE⊥D₁E，
∴∠D₁ED是二面角D₁-EC-D的平面角，
tan∠D1ED=

D1D

DE

=

1

2

=

2

2

，
∴二面角D₁-EC-D的正切值为

2

2

．（12分）

点评：本题考查三棱锥体积的求法，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．