Question

已知A为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一个动点，直线AB，AC分别过焦点F₁，F₂，且与椭圆交于B，C两点，若当AC⊥x轴时，恰好有|AF₁|：|AF₂|=3：1，则该椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆方程求出|AF₂|的长，结合椭圆定义求得|AF₁|，再由|AF₁|：|AF₂|=3：1列式求得椭圆的离心率．

解答： 解：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点横坐标为c，不妨设A为椭圆在第一象限的点，
当AC⊥x轴时，由

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

y2

b2

=1-

x2

a2

=1-

c2

a2

=

a2-c2

a2

=

b2

a2

，
∴yA=

b2

a

．
即|AF₂|=

b2

a

，由椭圆定义得，|AF₁|=2a-

b2

a

，
又|AF₁|：|AF₂|=3：1，得

2a- b2 a

b2 a

=3，即a²=2b²=2（a²-c²），
∴

c

a

=

2

2

．
故选：B．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆的定义，是基础题．