Question

已知数列{a_n}满足：对于n∈N，都有a_n+1=

13an-25

an+3

．
（1）若a₁=5，求a_n；
（2）若a₁=3，求a_n．
（3）若a₁=6，求a_n．
（4）当a₁取哪些值时，无穷数列{a_n}不存在？

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：作特征方程x=

13x-25

x+3

，变形，得x²-10x+25=0，特征方程有两个相同的特征根λ=5．由此结合已知条件能求出结果．

解答： 解：作特征方程x=

13x-25

x+3

，变形，得x²-10x+25=0，
特征方程有两个相同的特征根λ=5，
（1）∵a₁=5，∴a₁=λ，
∴对于n∈N^*，都有a_n=λ=5．
（2）∵a₁=3，∴a₁≠λ，
∴bn=

1

a1-λ

+(n-1)•

1

13-1•5

=

1

3-5

+

n-1

8

=-

1

2

+

n-1

8

，
令b_n=0，得n=5，故数列{a_n}从第5项起都不存在，
当n≤4时，n∈N^*时，an=

1

bn

+λ=

5n-17

n-5

（3）∵a₁=6，∴a₁≠λ，
∴bn=

1

a1-λ

+

n-1

8

=1+

n-1

8

，
令b_n=0，得n=7，
∴an=

1

bn

+λ=

1

1+ n-1 8

+5=

5n+43

n+7

，n∈N^*．
（4）a₁=-3时，数列从第三项就不存在，a₁=5时，{a_n}存在，
当a₁≠λ=5时，bn=

1

a1-5

+

n-1

8

，n∈N^*，
令b_n=0，则a₁=

5n-13

n-1

，n∈N*，且n≥2，
∴当a₁=

5n-13

n-1

，n∈N*，且n≥2时，数列{a_n}从第n项开始便不存在．
∴当a₁在集合{-3，或

5n-13

n-1

，n∈N*，且n≥2}上取值时，无穷数列{a_n}都不存在．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意特征方程和特征根的合理运用．