Question

如图所示，A、B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），点C坐标为（-2，0），平行四边形OAQP的面积为S．
（1）求t=

OA

•

OQ

+S的最大值；
（2）若CB∥OP，求sin（2θ-

π

3

）．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量的基本定理及其意义

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用向量的坐标公式求出t=

OA

•

OQ

+S的表达式，利用辅助角将函数进行化简，即可求出函数的最大值；
（2）利用直线平行转化为向量平行，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．

解答： 解：（1）∵

OA

=（1，0），P（cosθ，sinθ），∴

OQ

=（1+cosθ，sinθ），
∴

OA

•

OQ

=1+cosθ，
而S=2×

1

2

|

OA

|•|

OP

|sinθ=sinθ，
∴t=

OA

•

OQ

+S=1+cosθ+sinθ=1+

2

sin（θ+

π

4

），
∵0＜θ＜π，∴当θ=

π

4

时，t=

OA

•

OQ

+S取得最大值为1+

2

；
（2）

CB

=（2，1），

OP

=（cosθ，sinθ），
由CB∥OP得cosθ=2sinθ，
又0＜θ＜π，
结合sin²θ+cos²θ=1得sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

，sin2θ=

4

5

，cos2θ=

3

5

，
∴sin(2θ-

π

3

)=sin2θ•cos

π

3

-cos2θ•sin

π

3

=

4-3 3

10

．

点评：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用向量的坐标公式求出向量坐标是解决本题的关键．