Question

已知在数列{a_n}中，a_n+2-3a_n+1+2a_n=2ⁿ恒成立，a₁=0，a₂=1．求证：a_n=（n-2）•2^n-1+1对n∈N⁺恒成立．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：若a_n+1与a_n的值确定，则a_n+2的值也是唯一的，满足a_n+2-3a_n+1+2a_n=2ⁿ的每一项a_n都是唯一的，由此能求出a_n=（n-2）•2^n-1+1对n∈N⁺恒成立．

解答： 证明：∵a_n+2-3a_n+1+2a_n=2ⁿ恒成立，
∴an+2=3an+1-2an+2n，
若a_n+1与a_n的值确定，则a_n+2的值也是唯一的，
∵a₁=0，a₂=1，
∴满足a_n+2-3a_n+1+2a_n=2ⁿ的每一项a_n都是唯一的，
将a₁=0，a₂=1代入a_n=（n-2）•2^n-1+1成立，
将a_n+2-3a_n+1+2a_n=2ⁿ代入：
n×2ⁿ⁺¹+1-3×（n-1）×2ⁿ-3+2×（n-2）×2^n-1+2
=n×2ⁿ⁺¹-3×n×2ⁿ+n×2ⁿ+2ⁿ
2ⁿ，
∴an=(n-2)•2n-1+1．
∴a_n=（n-2）•2^n-1+1对n∈N⁺恒成立．

点评：本题考查数列的通项公式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．