Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n+1=-4S_n+1，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得Sn=

1-an+1

4

，从而得到a_n=S_n-S_n-1=

an-an+1

4

，所以

an+1

an

=-3，再由a₁=1，能求出a_n=（-3）^n-1．
（2）由b_n=na_n=n（-3）^n-1，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1=-4S_n+1，a₁=1，
∴Sn=

1-an+1

4

，
a_n=S_n-S_n-1=

1-an+1

4

-

1-an

4

=

an-an+1

4

，
∴4a_n=a_n-a_n+1，
∴a_n+1=-3a_n，
∴

an+1

an

=-3，∵a₁=1，
∴a_n=（-3）^n-1．
（2）∵b_n=na_n=n（-3）^n-1，
∴T_n=1•（-3）⁰+2•（-3）+3•（-3）²+…+n（-3）^n-1，①
-3T_n=1•（-3）+2•（-3）²+3•（-3）³+…+n•（-3）ⁿ，②
①-②，得：
4T_n=（-3）⁰+（-3）+（-3）²+…+（-3）^n-1-n•（-3）ⁿ
=

1-(-3)n

1+3

-n•（-3）ⁿ，
=

1

4

-(

1

4

+n)•(-3)n，
∴T_n=

1

16

-(

1

16

+

n

4

)•(-3)n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．