Question

已知函数f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）．
（1）当m=2时，判断f（x）在（-∞，0）的单调性，并用定义证明．
（2）若对任意x∈R，不等式 f（2^x）＞0恒成立，求m的取值范围；
（3）讨论f（x）零点的个数．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当m=2时，利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（-∞，0）的单调性，并用定义证明．
（2）利用参数分离法将不等式 f（2^x）＞0恒成立，进行转化，求m的取值范围；
（3）根据函数的单调性和最值，即可得到结论．

解答： 解：（1）当m=2，且x＜0时，f(x)=-x+

2

x

-1是单调递减的．
证明：设x₁＜x₂＜0，则f(x1)-f(x2)=-x1+

2

x1

-1-(-x2+

2

x2

-1)=(x2-x1)+(

2

x1

-

2

x2

)=(x2-x1)+

2(x2-x1)

x1x2

=(x2-x1)(1+

2

x1x2

)
又x₁＜x₂＜0，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
所以(x2-x1)(1+

2

x1x2

)＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故当m=2时，f(x)=-x+

2

x

-1在（-∞，0）上单调递减的．
（2）由f（2^x）＞0得|2x|+

m

2x

-1＞0，
变形为（2^x）²-2^x+m＞0，即m＞2^x-（2^x）²
而2x-(2x)2=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，
当2x=

1

2

即x=-1时(2x-(2x)2)max=

1

4

，
所以m＞

1

4

．
（3）由f（x）=0可得x|x|-x+m=0（x≠0），变为m=-x|x|+x（x≠0）
令g(x)=x-x|x|=

-x2+x，x＞0 x2+x，x＜0

作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：
当m＞

1

4

或m＜-

1

4

时，f（x）有1个零点．
当m=

1

4

或m=0或m=-

1

4

时，f（x）有2个零点；
当0＜m＜

1

4

或-

1

4

＜m＜0时，f（x）有3个零点．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法．