Question

14．已知F₁，F₂是双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F₁的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF₁|=2|F₁Q|，且F₂Q⊥PQ，则E的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{3}$

Answer 1

分析 可设|F₁Q|=m，可得|PF₁|=2m，由双曲线定义可得|PF₂|-|PF₁|=2a，|QF₂|-|QF₁|=2a，求得|PF₂|=2a+2m，|QF₂|=m+2a，再分别在直角三角形PQF₂中，直角三角形F₁QF₂中，运用勾股定理和离心率公式，化简整理，即可得到所求值．

解答 解：若|PF₁|=2|F₁Q|，且F₂Q⊥PQ，
可设|F₁Q|=m，可得|PF₁|=2m，
由双曲线定义可得|PF₂|-|PF₁|=2a，
|QF₂|-|QF₁|=2a，
即有|PF₂|=2a+2m，
|QF₂|=m+2a，
在直角三角形PQF₂中，
可得|PQ^|2+|QF₂|²=|PF₂|²，
即为（3m）²+（m+2a）²=（2a+2m）²，
化简可得2a=3m，即m=$\frac{2}{3}$a，
再由直角三角形F₁QF₂中，
可得|F₂Q^|2+|QF₁|²=|F₁F₂|²，
即为（2a+m）²+m²=（2c）²，
即为$\frac{64}{9}$a²+$\frac{4}{9}$a²=4c²，
即$\frac{17}{9}$a²=c²，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是求双曲线的离心率，注意运用定义法和直角三角形的勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．