Question

5．如图所示，在△ABC中，AB=3$\sqrt{6}，B=\frac{π}{4}$，D是BC边上一点，且∠ADB=$\frac{π}{3}$
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）若CD=10，求AC的长及△ADC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABD中，由已知利用正弦定理即可计算得解BD的值．
（Ⅱ）由已知利用正弦定理可求AD的值，在△ACD中，由余弦定理可求AC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABD中，由，BD=$\frac{ABsin∠BAD}{sin∠ADB}$=$\frac{3\sqrt{6}sin\frac{7π}{12}}{sin\frac{π}{3}}$，
∴BD=3$\sqrt{3}+3$．  …（4分）
（Ⅱ）AD=$\frac{ABsinB}{sin∠ADB}$=$\frac{3\sqrt{6}sin\frac{π}{4}}{sin\frac{π}{3}}$，
∴AD=6，
在△ACD中，由余弦定理得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}-2AD•CD•cos∠ADC}$=14． …（8分）
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•DC•sin∠ADC=$\frac{1}{2}×6×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$．                      …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．