Question

已知向量

a

=(sinωx，cosωx)，

b

=(

3

cosωx，cosωx)，函数f（x）=2

a

•

b

+2的最小正周期为π．（ω＞0）
（1）求f（x）的递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据题意和向量的数量积运算、两角和的正弦公式，化简函数解析式，由函数的周期求出ω的值，再由正弦函数的减区间求出此函数的减区间；
（2）由f（A）=4和角A的范围求出角A的值，由三角形的面积公式求出c的值，代入余弦定理求出a的值．

解答： 解：（1）由题意得，f(x)=2(

3

cosωxsinωx+cosωxcosωx)+2
=

3

sin2ωx+cos2ωx+3=2sin(2ωx+

π

6

)+3…（2分）
因为ω＞0，T=π，所以ω=1，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)+3…（3分）
由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)得，

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ(k∈Z)，
所以f（x）的递减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]（k∈Z）       …（5分）
（2）由f（A）=4得，f（A）=2sin(2A+

π

6

)+3=4，
所以sin(2A+

π

6

)=

1

2

                             …（6分）
又A为三角形的内角，则

π

6

＜sin(2A+

π

6

)＜

13π

6

，
所以2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

                       …（8分）
因为△ABC的面积为

3

2

，b=1，
所以

1

2

bcsinA=

3

2

，解得c=2  …（10分）
由余弦定理得，a²=c²+b²-2cbcosA=1+4-2×1×2×

1

2

=3，
所以a=

3

  …（12分）

点评：本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，向量的数量积，两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性、周期性的应用，属于中档题．