Question

8．已知函数f（x）=sinωx+$\sqrt{3}cosωx（{ω＞0}）$，当f（x₁）=f（x₂）=2时，|x₁-x₂|的最小值为2，给出下列结论，其中所有正确结论的个数为（　　）
①f（0）=$\frac{π}{3}$；  
②当x∈（0，1）时，函数f（x）的最大值为2；  
③函数$f（{x+\frac{1}{6}}）$的图象关于y轴对称；  
④函数f（x）在（-1，0）上是增函数．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 将f（x）化简，根据f（x₁）=f（x₂）=2时，|x₁-x₂|的最小值为2，可得周期T=2．可得f（x）的解析式，依次判断下列各选项即可．

解答 解：函数f（x）=sinωx+$\sqrt{3}cosωx（{ω＞0}）$=2sin（ωx$+\frac{π}{3}$）．
∵f（x₁）=f（x₂）=2时，|x₁-x₂|的最小值为2，
∴周期T=2，即2=$\frac{2π}{ω}$．
∴ω=π．
∴f（x）=2sin（πx$+\frac{π}{3}$）．
对于①：当x=0时，可得f（0）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．∴①不对．
对于②：当x∈（0，1）时，则πx$+\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），当πx$+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，f（x）取得最大值2，∴②对．
对于③：函数$f（{x+\frac{1}{6}}）$=2sinπ[x$+\frac{1}{6}$）$+\frac{π}{3}$]=2cosπx，图象关于y轴对称，∴③对．
对于④：令$-\frac{π}{2}≤$πx$+\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$是单调递增，可得：$-\frac{5}{6}≤x≤\frac{1}{6}$，∴函数f（x）在（-1，0）上不是增函数，④不对．
故选：B．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用条件确定解析式是解决本题的关键．属于中档题．