Question

如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB②EF⊥PB③AF⊥BC④AE⊥BC，
正确命题的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：分别根据线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理分别进行证明四个结论的真假，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵PA⊥⊙O所在平面，
∴PA⊥⊙O所在平面内的所有直线，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，
∵F是点A在PC上的射影，
∴AF⊥PC，
∵AF∩PC=F，
∴PC⊥面PAC，
∴AF⊥BC，
又AF⊥PC，
∴AF⊥面PBC，
∴AF⊥PB，∴①正确；
∵AF⊥面PBC，
BC?面PBC，
∴AF⊥BC∴③正确．
∵AF⊥PB，AE⊥PB，AF∩AE=A，
∴PB⊥面AEF，
∴EF⊥PB，
∴②正确．
∵AF⊥面PBC，
∴若AE⊥BC，
则AE⊥面PBC，
此时E，F重合，与已知矛盾．∴④错误；
故命题①②③正确，
故选：C

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的性质，考查化归与转化的数学思想方法．