题目内容
在平面直角坐标系中，点P到两点F1(0，-
)，F2(0，
)的距离之和等于4，动点P的轨迹为曲线．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线y=kx+l与曲线C交于A，B两点，当OA⊥OB时，（O为坐标原点），求k的值．
| 2 |
| 3 |
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线y=kx+l与曲线C交于A，B两点，当OA⊥OB时，（O为坐标原点），求k的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：向量与圆锥曲线
分析：（1）由题意可知动点P的轨迹为椭圆，并求得半焦距及长半轴，再由b2=a2-c2求得b，则曲线C的方程可求；
（2）联立直线和椭圆，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，求出两点纵坐标的积，再由OA⊥OB可得
•
=0．
代入根与系数的关系求得k值．
（2）联立直线和椭圆，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，求出两点纵坐标的积，再由OA⊥OB可得
| OA |
| OB |
代入根与系数的关系求得k值．
解答：
解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以F1（0，-
），F2（0，
）为焦点，长半轴为2的椭圆，
则它的短半轴b=
=1，
∴曲线C的方程为x2+
=1；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，消去y并整理得（4+k2）x2+2kx-3=0，
故x1+x2=-
，x1x2=-
．
y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1
=k2•(-
)+k•(-
)+1=
．
∵OA⊥OB，
∴
•
=0．
则x1x2+y1y2=-
+
=0，
解得：k=±
．
点P的轨迹C是以F1（0，-
| 3 |
| 3 |
则它的短半轴b=
22-(
|
∴曲线C的方程为x2+
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
|
故x1+x2=-
| 2k |
| 4+k2 |
| 3 |
| 4+k2 |
y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1
=k2•(-
| 3 |
| 4+k2 |
| 2k |
| 4+k2 |
| 4-4k2 |
| 4+k2 |
∵OA⊥OB，
∴
| OA |
| OB |
则x1x2+y1y2=-
| 3 |
| 4+k2 |
| 4-4k2 |
| 4+k2 |
解得：k=±
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．
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