Question

已知函数f（x）=2+log₂x，x∈[1，8]，求函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值及此时x的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由x²∈[1，8]，可推出log₂x的范围，化简函数y，运用配方即可得到最值．

解答： 解：∵x∈[1，8]，且x²∈[1，8]，
∴x∈[1，2

2

]，
∴0≤t=log₂x≤

3

2

，
又∵[f（x）]²+f（x²）=（2+log₂x）²+2+2log₂x
=（2+t）²+2+2t=t²+6t+6=（t+3）²-3，
则当t=

3

2

，即x=2

2

，y取最大值，且为

69

4

．

点评：本题实质考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．