题目内容
讨论函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）的奇偶性与单调性．
考点：对数函数的图像与性质
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：按照奇偶性与单调性的定义进行讨论，注意要先求函数的定义域．
解答：
解：由题意，得
，解得-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（-1，1）．
又∵f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），
∴f（x）为偶函数．
f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）=lg[（1-x）（1-x）]=lg（1-x2）．
设x1，x2∈（-1，0）且x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1+x2＜0，
∴（1-x12）-（1-x22）=（x2-x1）（x1+x2）＜0，
即1-x12＜1-x22，
∴lg（1-x12）＜lg（1-x22），
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）在（-1，0）内单调递增．
又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）在（0，1）内单调递减．
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∴f（x）的定义域为（-1，1）．
又∵f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），
∴f（x）为偶函数．
f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）=lg[（1-x）（1-x）]=lg（1-x2）．
设x1，x2∈（-1，0）且x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1+x2＜0，
∴（1-x12）-（1-x22）=（x2-x1）（x1+x2）＜0，
即1-x12＜1-x22，
∴lg（1-x12）＜lg（1-x22），
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）在（-1，0）内单调递增．
又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）在（0，1）内单调递减．
点评：判断函数奇偶性，必须先求出定义域，单调性的判断在定义域内用定义判断．
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