Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）若M是圆x²+y²=b²在第一象限内圆弧上的一个动点，过点M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P，Q两点，问|F₁P|+|F₁Q|-|PQ|是否为定值？如果不是，说明理由；如果是，求出定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得c=1，离心率e=

1

2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），椭圆方程是

x2

4

+

y2

3

=1，|x|≤2，由此求出|PF₁|=2+

1

2

x1，|QF₁|=2+

1

2

x2，连接OM，OP，由直线和圆相切求出|PQ|=

1

2

x1+

1

2

x2，由此能证明|F₁P|+|F₁Q|-|PQ|=4为定值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆的左焦点为F₁（-1，0），∴c=1，
∵离心率e=

1

2

，∴a=2，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵椭圆方程是

x2

4

+

y2

3

=1，∴|x|≤2，
|PF₁|=

(x1+1)2+y12

=

(x1+1)2+3(1- x12 4 )

=

1 4 (x1+4)2

，
∵|x₁|≤2，∴|PF₁|=2+

1

2

x1，
同理，得|QF₁|=2+

1

2

x2，
连接OM，OP，由直线和圆相切知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²
=x12+y12-3=

1

4

x12，
∴|PM|=

1

2

x1，
同理，得|QM|=

1

2

x2，
∴|PQ|=

1

2

x1+

1

2

x2，
∴|F₁P|+|F₁Q|-|PQ|
=（2+

1

2

x1）+（2+

1

2

x2）-（

1

2

x1+

1

2

x2）=4．
∴|F₁P|+|F₁Q|-|PQ|=4为定值．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查|F₁P|+|F₁Q|-|PQ|是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．