Question

（1）求函数f（x）=

1

x+1

+

4-x2

的定义域；
（2）求函数y=2x-

x-1

的值域；
（3）已知函数y=

ax+b

x2+1

的值域为[-2，2]，求a，b的值．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）该函数的定义域就是使函数f（x）有意义的x的集合，所以x+1≠0，且4-x²≥0，解出x来即可．
（2）将原函数解析式中的2x移到等号的左边，再两边平方并整理得：4x²-（4y+1）x+y²+1=0，可以把这个等式看成关于x的方程，方程有解，判别式△≥0，解出y即是值域．
（3）将原函数整理成关于x的方程，方程有解，判别式△≥0，这样得到关于y的不等式，这个不等式的解是原函数的值域，从而求出a，b．

解答： 解：（1）使原函数有意义，则：

x+1≠0 4-x2≥0

，解得-2≤x≤2，且x≠-1；
∴原函数的定义域为[-2，-1）∪（-1，2]．
（2）将原函数变成y-2x=-

x-1

，然后两边平方得：4x²-（4y+1）x+y²+1=0；
则：（4y+1）²-16（y²+1）≥0，解得y≥

15

8

∴原函数的值域是[

15

8

，+∞）．
（3）原函数变成y（x²+1）=ax+b，整理成：yx²-ax+y-b=0；
∴a²-4y（y-b）≥0；
∴4y²-4by-a²≤0      ①；
∵原函数的值域是[-2，2]，∴不等式①的解是[-2，2]；
∴-2，2是关于y的方程4y²-4by-a²=0的两个根；
∴

16+8b-a2=0 16-8b-a2=0

，解得a=±4，b=0．

点评：将原函数整理成关于x的方程，方程有解，判别式△≥0，这个不等式的解便是原函数的值域，这是一种求值域的办法，应该掌握．