Question

已知函数f（x）=2x²-2ax+b，当时x=-1时，f（x）取最小值-8，记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x-t|≤1}
（Ⅰ）当t=1时，求（∁_RA）∪B；
（Ⅱ）设命题P：A∩B≠∅，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：命题的否定,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（I）根据题意求出f（x）的解析式，再求出集合A以及t=1时的集合B，即可求出答案；
（Ⅱ）根据命题与命题的否定一真一假，得出命题P是假命题，从而列出不等式组，求出解集．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x²-2ax+b，
在x=-1时，f（x）取最小值-8，
∴

- -2a 2×2 =-1 4×2b-4a2 4×2 =-8

；
解得a=-2，b=-6，
∴f（x）=2x²+4x-6；
∴集合A={x|f（x）＞0}={x|2x²+4x-6＞0}={x|x＜-3，或x＞1}，
∴C_RA={x|-3≤x≤1}；
当t=1时，B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}，
∴（∁_RA）∪B={x|-3≤x≤2}；
（Ⅱ）∵B={x||x-t|≤1}={x|t-1≤x≤t+1}，
由题意知命题P：A∩B≠∅为假命题，
∴

t+1≤1 t-1≥-3

，
解得-2≤t≤0；
∴实数t的取值范围是[-2，0]．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了简易逻辑的应用问题以及集合的应用问题，是综合题．