Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥平面ABC．
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）当k=

1

2

时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：方法一：（Ⅰ）首先利用中位线得出线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得出结论．
（Ⅱ）先作出线面角，由题意知，OD∥PA，故可转化为求OD与面PBC的夹角问题，由题设条件知取BC的中点E，连PE，则O在线PE上的垂足必在PE上，设其为F，则可证得∠ODF所求的线面角，下据条件求之．
（Ⅲ）若F是重心，则必有BFD三点共线，又D是中点，故定有BC=PB，可求得k=1．

解答： （Ⅰ）证明：在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点
∴OD∥AP
∵AP?平面PAB，OD?平面PAB
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵AB⊥BC  OA=OC
∴OA=OB=OC
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC
取BC的中点E，连结PE，
则：BC⊥平面POE
作OF⊥PE于F，连结DF，
则：DF⊥平面PBC
∴∠ODF是DO与平面PBC所成的角．
由OD∥PA
∴∠ODF是PA与平面PBC所成的角
在Rt△ODG中，sin∠ODF=

OF

OD

=

210

30

PA与平面PBC所成的角为：crsin

210

30

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：OF⊥平面PBC
∴F是O在平面PBC内的射影．
∵D是PC的中点，
若点F是△PBC的重心，
则：B、F、D三点共线．
所以，直线OB在平面PBC内的射影为直线BD．
∵OB⊥PC
PC⊥BD
∴PB=BC
即：k=1
反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥．
O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心

点评：本题考查的知识要点：线面的夹角问题，及由位置关系转化为方程求参数，重点考查空间想象能力和转化能力．