Question

已知函数f（x）=

1

2

x2+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）当x∈[1，+∞），比较f（x）与g（x）=

2

3

x3的大小．
（Ⅲ）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求f′（x），根据f′（x）的符号判断函数f（x）的单调性，根据单调性求它在[1，e]上的最大、最小值；
（Ⅱ）作差比较f（x），g（x）的大小，所以构造函数F（x）=f（x）-g（x），求F′（x），判断该导数的符号便可判断出F（x）在[1，+∞）上单调递减，所以F（x）≤F（1）=-

1

6

＜0，所以便得到f（x）＜g（x）；
（Ⅲ）f′（x）=x+

1

x

，所以便得到f′（xⁿ）=xn+

1

xn

，所以设S=[f′(x)]n-f′(xn)=(x+

1

x

)n-xn-

1

xn

=∁n1xn-1•

1

x

+∁n2xn-2•

1

x2

+…+∁nn-1x•

1

xn-1

    ①；
对该式倒序相加便得到S=∁nn-1x-(n-2)+∁nn-2x-(n-4)+…+∁n1xn-2    ②．①+②得：2S=∁n1[xn-2+x-(n-2)]+∁n2[xn-4+x-(n-4)]+…+∁nn-1[x-(n-2)+xn-2]，所以根据基本不等式便可得到：2S≥2(∁n1+∁n2+…+∁nn-1)=2（2ⁿ-2），所以S≥2ⁿ-2．

解答： 解：（I）f′(x)=x+

1

x

＞0(x＞0)，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴f（x）在[1，e]的最大值，最小值分别为f(e)=

1

2

e2+1，f(1)=

1

2

；
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+lnx-

2

3

x3，F′(x)=x+

1

x

-2x2=

x2+1-2x3

x

=

(1-x)(2x2+x+1)

x

∴当x≥1时，F′（x）≤0，即F（x）在[1，+∞）上单调递减；
∴F（x）≤F（1）=-

1

6

＜0；
∴f（x）＜g（x）；
（III）f′(x)=x+

1

x

，∴[f′(x)]n=(x+

1

x

)n，f′(xn)=xn+

1

xn

；
∴设S=[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=∁n1xn-1•

1

x

+∁n2xn-2•

1

x2

+…+∁nn-1x•

1

xn-1

     ①；
将上式倒序相加S=∁nn-1x-(n-2)+∁nn-2x-(n-4)+…+∁n1xn-2            ②；
∴①+②得：2S=∁n1[xn-2+x-(n-2)]+∁n2[xn-4+x-(n-4)]+…+∁nn-1[x-(n-2)+xn-2]≥2(∁n1+∁n2+…+∁nn-1)；
∴S≥∁n1+∁n2+…+∁nn-1=2ⁿ-2；
即[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2．

点评：考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及根据单调性求函数的最大值、最小值，构造函数解决问题的方法，以及二项式定理，对于求和的时候所用的倒序相加的方法，及（1+1）ⁿ的二项展开式．