Question

已知对称中心为坐标原点的椭圆C₁与抛物线C₂：x²=4y有一个相同的焦点F₁，直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若椭圆C₁经过直线l上的点P，当椭圆C₁的长轴长取最小值时，求椭圆C₁的方程及点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的一般式方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直接把直线方程和抛物线方程联立，利用判别式等于0求解m的值，代入后可得直线方程；
（Ⅱ）由抛物线的焦点坐标得到椭圆的两焦点坐标，求出点F₁ 关于直线l的对称点，然后利用三角形两边之和大于第三边得到使椭圆C₁的长轴长取最小值时点P的坐标，并求得椭圆长轴的最小值，则答案可求．

解答： 解：（Ⅰ）由

y=2x+m x2=4y

消去y，得x²-8x-4m=0．
∵直线l与抛物线C₂只有一个公共点，
∴△=8²+4×4m=0，解得m=-4．
∴直线l的方程为y=2x-4；
（Ⅱ）∵抛物线C₂的焦点为：F₁（0，1），
依题意知椭圆C₁ 的两个焦点坐标为F₁（0，1），F₂（0，-1），
如图，

设点F₁关于直线l的对称点为F1′(x0，y0)，
则

y0-1 x0 ×2=-1 y0+1 2 =2× x0 2 -4

，解得

x0=4 y0=-1

．
∴点F1′(4，-1)．
∴直线F1′F2 的方程为y=-1．
直线l与直线F1′F2 的交点坐标为P0(

3

2

，-1)．
由椭圆的定义及平面几何知识得：
椭圆C₁的长轴长2a=|PF1|+|PF2|=|PF1′|+|PF2|≥|F1′F2|=4．
其中当P与P₀重合时上式取等号．
∴当a=2时，椭圆的长轴长取得最小值为4，
此时椭圆的方程为

y2

4

+

x2

3

=1，点P的坐标为(

3

2

，-1)．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用三角形两边之和大于第三边求最值点，体现了数学转化思想方法，考查了椭圆方程的求法，是压轴题．